Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Линейные отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


В самом деле, согласно определению есть функционал на L*, значение которого на ek равно ("символ Кронекера"). Но - точно такой же функционал на L* по определению двойственного базиса.

Заметим, что если L бесконечномерно, то остается инъективным, но перестает быть сюръективным. В функциональном анализе вместо L* обычно рассматривают только подпространство линейных функционалов L', непрерывных в подходящей топологии на L и , и тогда отображение может быть определено и иногда оказывается изоморфизмом. Такие (топологические) пространства называют рефлексивными. Мы доказали, что конечномерные пространства (без учета топологии) рефлексивны.

Рассмотрим теперь связь между линейными отображениями и линейными подпространствами.

11. Определение. Пусть - линейное отображение. Множество Ker f = называется ядром f, а множество назвывается образом f.

Нетрудно убедиться, что ядро f является линейным подпространством в L, а образ f - линейным подпространством в M. Проверим, например, второе утверждение. Пусть . Тогда существуют такие векторы , что f(l1) = m1, m2. Значит, m1 + m2 = f(l1 + l2), am1 = f(al1). Следовательно, и .

Отображение f инъективно тогда и только тогда, когда Ker f = {0}. В самом деле, если f(l1) = f(l2), , то Ker f. Наоборот, если Ker f, то f(l) = 0 = f (0).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник