Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Линейные отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


10. Канонический изоморфизм между пространством и дважды двойственным к нему. Пусть L - линейное пространство, L* - пространство линейных функций на нем, L** = (L*)* - пространство линейных функций на L* - "дважды двойственное к L пространство".

Опишем каноническое отображение , не зависящее ни от каких произвольных выборов. Оно ставит в соответствие каждому вектору функцию на L*, значение которой на функционале равно f(l); в краткой записи:

Проверим следующие свойства :

а) Для каждого отображение линейно. Действительно, это означает, что выражение f(l) как функция от f при фиксированном l линейно по f. Но это следует из правил сложения функционалов и умножения их на скаляр.

Следовательно, действительно определяет отображение L в L**, как и утверждалось.

б) Отображение линейно. Действительно, это означает, что выражение f(l) как функция от l при фиксированном f линейно, - это так, потому что .

в) Если L конечномерно, то отображение является изоморфизмом. В самом деле, пусть {e1, ..., en} - базис L, {e1, ..., en} - двойственный базис L*, - базис в L**, двойственный к {e1, ..., en}.

Покажем, что , откуда и будет следовать, что - изоморфизм (в этой проверке использование базиса L безобидно, т. к. в определении он не участвовал).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник