Линейные пространства и линейные отображения / Комплексификация и овеществление / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Аналогично, если (L, J) - вещественное пространство с комплексной структурой, оператор -J также определяет комплексную структуру, которая называется сопряженной с исходной. В обозначениях теоремы п. 7, если - комплексное пространство, отвечающее (L, J), то - комплексное пространство, отвечающее (L, -J).
13. Сначала овеществление, потом комплексификация. Теперь можем для всякого комплексного линейного пространства L построить канонический комплексно линейный изоморфизм.
![](Math/o01858.jpg) ![](Math/o02858.jpg) ![](Math/o03858.jpg) ![](Math/o04858.jpg) ![](Math/o05858.jpg)
С этой целью заметим, что на (L2)C имеются два вещественно линейных оператора: оператор канонической комплексной структуры J(l1, l2) = (-l2, l1) и оператор умножения на i, отвечающий исходной комплексной структуре L: i(l1, l2) = (il1, il2). Так как J коммутирует с i, он комплексно линеен в этой структуре. Поскольку J2 = -id, его собственные значения равны ![](Math/o01859.jpg) . Введем стандартные обозначения для двух подпространств, отвечающих этим собственным значениям:
![](Math/o01860.jpg) ![](Math/o02860.jpg) ![](Math/o03860.jpg) ![](Math/o04860.jpg) ![](Math/o05860.jpg) ![](Math/o06860.jpg) ![](Math/o07860.jpg) ![](Math/o08860.jpg) ![](Math/o09860.jpg)
![](Math/o01861.jpg) ![](Math/o02861.jpg) ![](Math/o03861.jpg) ![](Math/o04861.jpg) ![](Math/o05861.jpg) ![](Math/o06861.jpg) ![](Math/o07861.jpg) ![](Math/o08861.jpg) ![](Math/o09861.jpg)
Оба множества L1, 0 и L0, 1 являются комплексными подпространствами в (L2)C: ясно, что они замкнуты относительно сложения и умножения на вещественные числа, а замкнутость относительно умножения на J следует из того, что J и i коммутируют. Покажем, что ![](Math/o01862.jpg) ![](Math/o02862.jpg) , а также, что L1, 0 естественно изоморфно L, тогда как L0, 1 естественно изоморфно .
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|