5. Комплексная структура на вещественном линейном пространстве. Пусть L - комплексное линейное пространство, L_R - его овеществление. Чтобы полностью восстановить умножение на комплексные числа в L_R, достаточно знать оператор J: L_R L_R умножения на i: J(l) = il. Очевидно, этот оператор линеен над R и удовлетворяет условию J² = - id; если мы знаем его, то для любого комплексного числа a + bi, a, b R, имеем

(a + bi)l = al + bJ(l).

Это соображение приводит к следующему важному понятию:

6. Определение. Пусть L - вещественное пространство. Комплексной структурой на L называется задание линейного оператора J: L L, удовлетворяющего условию J² = - id.

Описанная выше комплексная структура на L_R называется канонической. это определение оправдывается следующей теоремой:

7. Теорема. Пусть (L, J) - вещественное линейное пространство с комплексной структурой. Введем на L операцию умножения на комплекскные числа из C по формуле

(a + bi)l = al + bJ(l).

Тогда L превратится в комплексное линейное пространство , для которого .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-