Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Комплексификация и овеществление / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Комплексификация и овеществление


1. В разделах Структура линейного отображения и Жорданова нормальная форма мы убедились, что работа над алгебраически замкнутым полем проясняет геометрическую структуру линейных операторов и дает удобную каноническую форму матриц. Поэтому, даже работая с вещественным полем, удобно иногда пользоваться комплексными числами. В этом разделе будут рассмотрены две основные операции: увеличения и уменьшения поля скаляров в применении к линейным пространствам и линейным отображениям. Будет уделено больше всего внимания переходу от R к C (комплексификация) и от C к R (овеществление) и кратко будет рассмотрен более общий случай.

2. Овеществление. Пусть L - линейное пространство над C. Забудем про возможность умножать векторы из L на все комплексные числа и оставим лишь умножение на R. Очевидно, получим линейное пространство над R, которое будем обозначать LR и называть овеществлением L.

Пусть L, M - два линейных пространства над C, - линейное отображение. Очевидно, рассмотренное как отображение LR MR, оно остается линейным. Будем обозначать его fR и называть овеществлением f. Ясно, что idR = id, (fg)R = fRgR; (af + bg)R = afR + bgR, если a, b R.

3. Теорема. а) Пусть {e1, ..., em} - базис пространства L над C. Тогда {e1, ..., em, ie1, ..., iem} является базисом пространства LR над R. В частности, dimR LR = 2 dimC L.

б) Пусть A = B + iC - матрица линейного отображения в базисах {e1, ..., em} и над C, где B, C - вещественные матрицы. Тогда матрицей линейного отображения fR: LR MR в базисах {e1, ..., em, ie1, ..., iem}, будет


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник