Линейные пространства и линейные отображения / Комплексификация и овеществление / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Комплексификация и овеществление
1. В разделах Структура линейного отображения и Жорданова нормальная форма мы убедились, что работа над алгебраически замкнутым полем проясняет геометрическую структуру линейных операторов и дает удобную каноническую форму матриц. Поэтому, даже работая с вещественным полем, удобно иногда пользоваться комплексными числами. В этом разделе будут рассмотрены две основные операции: увеличения и уменьшения поля скаляров в применении к линейным пространствам и линейным отображениям. Будет уделено больше всего внимания переходу от R к C (комплексификация) и от C к R (овеществление) и кратко будет рассмотрен более общий случай.
2. Овеществление. Пусть L - линейное пространство над C. Забудем про возможность умножать векторы из L на все комплексные числа и оставим лишь умножение на R. Очевидно, получим линейное пространство над R, которое будем обозначать LR и называть овеществлением L.
Пусть L, M - два линейных пространства над C, ![](Math/o01745.jpg) - линейное отображение. Очевидно, рассмотренное как отображение LR MR, оно остается линейным. Будем обозначать его fR и называть овеществлением f. Ясно, что idR = id, (fg)R = fRgR; (af + bg)R = afR + bgR, если a, b R.
3. Теорема. а) Пусть {e1, ..., em} - базис пространства L над C. Тогда {e1, ..., em, ie1, ..., iem} является базисом пространства LR над R. В частности, dimR LR = 2 dimC L.
б) Пусть A = B + iC - матрица линейного отображения ![](Math/o01745.jpg) в базисах {e1, ..., em} и ![](Math/o01814.jpg) ![](Math/o02814.jpg) над C, где B, C - вещественные матрицы. Тогда матрицей линейного отображения fR: LR MR в базисах {e1, ..., em, ie1, ..., iem}, ![](Math/o01815.jpg) ![](Math/o02815.jpg) ![](Math/o03815.jpg) ![](Math/o04815.jpg) будет
![](Math/o01816.jpg) ![](Math/o02816.jpg) ![](Math/o03816.jpg)
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|