Линейные пространства и линейные отображения / Комплексификация и овеществление / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9. Замечания. а) Пусть L - комплексное пространство, g: LR LR - вещественно линейное отображение. Поставим вопрос, когда существует такое комплексно линейное отображение ![](Math/o01302.jpg) , что g = fR. Очевидно, для этого необходимо, чтобы g коммутировал с оператором J естественной комплексной структуры на LR, т. к. g(il) = g(Jl) = ig(l) = Jg(l) для всех ![](Math/o01328.jpg) . Это условие является также достаточным, потому что из него автоматически следует линейность g над C:
g((a + bi)l) = ag(l) + bg(il) = ag(l) + bgJ(l) =
= ag(l) + bJg(l) = (a + bJ)g(l) = (a + bi)g(l).
б) Пусть теперь L - четномерное вещественное пространство, ![](Math/o01302.jpg) - вещественно линейный оператор. Поставим вопрос, когда на L существует такая комплексная структура J, что f является овеществлением комплексно линейного отображения ![](Math/o01836.jpg) , где - комплексное пространство, построенное с помощью J. Вот частичный ответ, относящийся к случаю dimR L = 2: такая структура существует, если f не имеет собственных векторов в L.
В самом деле, когда f имеет два комплексно сопряженных собственных значения ![](Math/o01838.jpg) ![](Math/o02838.jpg) ![](Math/o03838.jpg) ![](Math/o04838.jpg) ![](Math/o05838.jpg) ![](Math/o06838.jpg) . Положим ![](Math/o01839.jpg) ![](Math/o02839.jpg) . По теореме Гамильтона - Кэли, ![](Math/o01840.jpg) ![](Math/o02840.jpg) ![](Math/o03840.jpg) ![](Math/o04840.jpg) , откуда
![](Math/o01841.jpg) ![](Math/o02841.jpg) ![](Math/o03841.jpg) ![](Math/o04841.jpg) ![](Math/o05841.jpg) ![](Math/o06841.jpg) ![](Math/o07841.jpg)
Кроме того, J коммутирует с f. Это завершает доказательство.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|