Линейные пространства и линейные отображения / Комплексификация и овеществление / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Следовательно, оно комплексно линейно. Оно называется комплексификацией отображения f. Очевидно, idC = id, (af + bg)C = afC + bgC; a, b R; и (fg)C = fCgC. Рассматривая пару базисов L и M как базисы LC и MC соответственно, убеждаемся, что матрица отображения f в исходной паре базисов совпадает с матрицей отображения fC в этой "новой" паре. В частности, (комплексные) собственные значения отображений f и fC и их жордановы формы совпадают.
Проследим теперь, что происходит при композиции операций овеществления и комплексификации в двух возможных порядках.
11. Сначала комплексификация, затем овеществление. Пусть L - вещественное пространство. Утверждаем, что существует естественный изоморфизм
![](Math/o01849.jpg) ![](Math/o02849.jpg) ![](Math/o03849.jpg) ![](Math/o04849.jpg)
Действительно, по конструкции LC совпадает с ![](Math/o01842.jpg) как вещественное пространство. Аналогично, ![](Math/o01850.jpg) ![](Math/o02850.jpg) (в смысле этого отождествления) для любого вещественного линейного отображения ![](Math/o01745.jpg) .
Композиция в обратном порядке приводит к несколько менее очевидному ответу. Введем следующее определение.
12. Определение. Пусть L - комплексное пространство. Сопряженным комплексным пространством называется множество L с той же структурой аддитивной группы, но с новым умножением на скаляры из C, которое временно обозначим ![](Math/o01852.jpg) :
![](Math/o01853.jpg) ![](Math/o02853.jpg) для любых ![](Math/o01854.jpg) ![](Math/o02854.jpg) ![](Math/o03854.jpg) .
Аксиомы проверяются без труда, если воспользоваться тем, что ![](Math/o01855.jpg) ![](Math/o02855.jpg) и ![](Math/o01856.jpg) ![](Math/o02856.jpg) .
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|