Линейные пространства и линейные отображения / Комплексификация и овеществление / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Из определений сразу же следует, что L1, 0 состоит из векторов вида (l, -il), а L0, 1 - из векторов вида (m, im). Для данных ![](Math/o01863.jpg) уравнение (l1, l2) = (l, -il) + (m, im) на l, m имеет единственное решение ![](Math/o01864.jpg) ![](Math/o02864.jpg) ![](Math/o03864.jpg) ![](Math/o04864.jpg) . Следовательно, ![](Math/o01862.jpg) ![](Math/o02862.jpg) . Отображения ![](Math/o01865.jpg) ![](Math/o02865.jpg) ![](Math/o03865.jpg) ![](Math/o04865.jpg) и ![](Math/o01866.jpg) ![](Math/o02866.jpg) ![](Math/o03866.jpg) ![](Math/o04866.jpg) являются вещественно линейными изоморфизмами. Кроме того, они перестановочны с действием i на L, и действием J на L1, 0, L0, 1 в силу определений. Это завершает нашу конструкцию.
14. Полулинейные отображения комплексных пространств. Пусть L, M - комплексные линейные пространства. Полулинейным (или антилинейным) отображением ![](Math/o01745.jpg) называется линейное отображение ![](Math/o01868.jpg) . Другими словами, f - гомоморфизм аддитивных групп, и
![](Math/o01869.jpg) ![](Math/o02869.jpg) ![](Math/o03869.jpg)
для всех ![](Math/o01870.jpg) ![](Math/o02870.jpg) . Особая роль полулинейных отображений станет ясна далее, при рассмотрении эрмитовых комлексных пространств.
15. Подъем поля скаляров: общая ситуация. Пусть, как в п. 4, K - некоторое поле, ![](Math/o011.JPG) - его подполе. Тогда для любого линейного пространства L над ![](Math/o011.JPG) можно определить линейное пространство ![](Math/o01871.jpg) ![](Math/o02871.jpg) , или LK, над K, сохранив размерность. До введения языка тензорных произведений дать общее определение LK затруднительно, но для практических целей достаточно следующего полуфабриката: если {e1, ..., en} - базис L над ![](Math/o011.JPG) , то LK состоит из всех формальных линейных комбинаций ![](Math/o01872.jpg) ![](Math/o02872.jpg) ![](Math/o03872.jpg) ![](Math/o04872.jpg) , т. е. имеет тот же базис над K. В частности, ![](Math/o01873.jpg) ![](Math/o02873.jpg) . По ![](Math/o011.JPG) -линейному отображению ![](Math/o01745.jpg) определяется K-линейное отображение ![](Math/o01874.jpg) ![](Math/o02874.jpg) если f задано матрицей в некоторых базисах L и M, то fK задается той же матрицей.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|