Из определений сразу же следует, что L^{1, 0} состоит из векторов вида (l, -il), а L^{0, 1} - из векторов вида (m, im). Для данных уравнение (l₁, l₂) = (l, -il) + (m, im) на l, m имеет единственное решение . Следовательно, . Отображения и являются вещественно линейными изоморфизмами. Кроме того, они перестановочны с действием i на L, и действием J на L^{1, 0}, L^{0, 1} в силу определений. Это завершает нашу конструкцию.

14. Полулинейные отображения комплексных пространств. Пусть L, M - комплексные линейные пространства. Полулинейным (или антилинейным) отображением называется линейное отображение . Другими словами, f - гомоморфизм аддитивных групп, и

для всех . Особая роль полулинейных отображений станет ясна далее, при рассмотрении эрмитовых комлексных пространств.

15. Подъем поля скаляров: общая ситуация. Пусть, как в п. 4, K - некоторое поле, - его подполе. Тогда для любого линейного пространства L над можно определить линейное пространство , или L^K, над K, сохранив размерность. До введения языка тензорных произведений дать общее определение L^K затруднительно, но для практических целей достаточно следующего полуфабриката: если {e₁, ..., e_n} - базис L над , то L^K состоит из всех формальных линейных комбинаций , т. е. имеет тот же базис над K. В частности, . По -линейному отображению определяется K-линейное отображение если f задано матрицей в некоторых базисах L и M, то f^K задается той же матрицей.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-