4. Общий случай. Теперь мы в состоянии понять геометрию графика x_n+1 = q(x₁, ..., x_n) при произвольных значениях n.

Перейдем к главным осям в Rⁿ, т. е. к ортонормированному базису, в котором . Как выше, они определяются однозначно, если m = n и при или если m = n - 1 и при . От координат y_m+1, ..., y_n форма q не зависит, поэтому весь график получается из графика в R^m+1 переносом вдоль подпространства, натянутого на {e_m+1, ..., e_n}. Иными словами, вдоль этого подпространства график "цилиндричен". Нетрудно убедиться, что оно является как раз ядром билинейной формы, полярной к q, и тривиально тогда и только тогда, когда q невырождена.

Пусть q невырождена, т. е. m = n. Можно считать, что , т. е. (r, s) - сигнатура формы q. Если форма q положительно определена, т. е. r = n, s = 0, то график имеет вид n-мерной чаши: все его сечения вертикальными плоскостями суть параболы, а все линии уровня q = c > 0 суть эллипсоиды с полуосями , направленными вдоль главных осей. Уравнение такого эллипсоида имеет вид

т. е. он получается из единичного шара растяжениями вдоль ортогональных направлений. В частности, он ограничен: целиком лежит в прямоугольном параллелепипеде , i = 1, ..., n. Ниже мы убедимся, что изучение вариации длин полуосей разных сечений эллипсоида (тоже эллипсоидов) дает полезную информацию о собственных значениях самосопряженных операторов.

При r = 0, s = n получается купол. В обоих случаях график называется (n-мерным) эллиптическим параболоидом.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-