Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Вычтя из f ее значение в нуле и линейную часть, получаем, что остаток квадратичен с точностью до членов более высокого порядка малости. Это вычитание означает, что мы рассматриваем отклонение графика f от касательной гиперплоскости к этому графику в нуле. Обозначив эту касательную плоскость через Rn, обнаруживаем, что поведение f вблизи нуля определяется квадратичной формой с матрицей по крайней мере, когда эта форма невырождена, - иначе нужно учитывать члены более высокого порядка малости. (Например, график слева уходит вниз, а справа - вверх; графики квадратичных функций так себя не ведут. Двумерный график - это "обезъянье седло", в одном криволинейном секторе уходящее вниз - "для хвоста".)

Точка, в которой дифференциал обращается в нуль (т. е. для всех i = 1, ..., n), называется критической точкой функции f (в наших примерах это было начало координат). Она называется невырожденной, если в ней квадратичная форма невырождена. Предшествующее обсуждение можно резюмировать в одной фразе: вблизи невырожденной критической точки график функции расположен относительно касательной гиперплоскости, как график ее квадратичной части. После этого можно доказать, что малое изменение функции (вместе с ее первыми и вторыми производными) может лишь слегка сдвинуть положение невырожденной критической точки, но не меняет сигнатуры соответствующей квадратичной формы и потому общего поведения графика (в малом).

Можно также доказать, что вблизи невырожденной критической точки можно сделать такую гладкую и гладко обратимую (хотя, вообще говоря, нелинейную) замену координат yi = yi(x1, ..., xn), i = 1, ..., n, что в новых координатах f будет задаваться в точности квадратичной функцией:


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник