Промежуточные случаи приводят к многомерным гиперболическим параболоидам разных сигнатур. Ключом к их геометрии является снова структура конуса асимптотических направлений C в Rⁿ, т. е. нулевого уровня формы q(y₁, ..., y_n) = 0.

Конусом он называется потому, что заметается своими образующими: прямая, содержащая один вектор из C, целиком лежит в нем. чтобы составить себе представление о базе этого конуса, рассмотрим его пересечение, скажем, с линейным многообразием y_n = 1:

Видно, что база является множеством уровня квадратичной формы от n - 1 переменной. Простейший случай получается, когда она положительно определена: тогда это множество уровня есть эллипсоид, в частности, оно ограничено, и наш конус похож на "школьные" трехмерные конусы. Этот случай отвечает сигнатуре (n - 1, 1) или (1, n - 1); при n = 4 пространство (R⁴, q) есть знаменитое пространство Минковского, которое будет подробно изучено далее. Для дугих сигнатур C устроен заметно сложнее, т. к. его база "уходит на бесконечность". Сечения графика q вертикальными плоскостями, проходящими через образующие C, совпадают с этими образующими. Для любых других плоскостей получаются либо "чаши", либо "купола" - асимптотические направления разделяют эти два случая. Поэтому конус C делит пространство Rⁿ\C на две части, сплошь заметаемые прямыми, вдоль которых q соответственно положительна или отрицательна. Одна из этих областей называется совокупностью внутренних пол конуса C, другая - его внешностью. Геометрический смысл сигнатуры (r, s) грубо, но наглядно можно описать следующей фразой: график формы q по r направлениям уходит вверх, а по s - вниз.

Хотя мы работали все время с вещественными квадратичными формами, те же результаты применимы к комплексным эрмитовым формам. Действительно, овеществление Cⁿ есть R²ⁿ, и овеществление эрмитовой формы , есть вещественная квадратичная форма. При овеществлении все размерности удваиваются: в частности, комплексная сигнатура (r, s) превращается в вещественную сигнатуру (2r, 2s).

Опишем теперь вкратце и без доказательств два приложения этой теории в механике и топологии.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-