8. Предложение. Пусть - единичная сфера пространства L. Тогда

Доказательство. Поскольку и , очевидно

На единичной сфере левая часть есть , а правая . Эти значения достигаются на векторах (0, ..., 0, 1) и (1, 0, ..., 0) соответственно (координаты берутся в базисе {e₁, ..., e_n}, диагонализирующем f).

9. Следствие. Пусть - линейная оболочка семейства {e₁, ..., e_k}, - линейная оболочка семейства {e_k, ..., e_n}. Тогда

Доказательство. Действительно, в очевидных координатах ограничение q_f на имеет вид , а ограничение на - вид .

Следующее важное усиление этого результата, в котором вместо рассматриваются любые линейные подпространства в L коразмерности k - 1, называется теоремой Фишера-Куранта. Она дает "минимаксную" характеристику собственных значений дифференциальных операторов.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-