Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов


1. Этот раздел посвящен изучению геометрии графиков квадратичных форм q на вещественном линейном пространстве, т. е. множеств вида xn+1 = q(x1, ..., xn) в Rn+1, и описанию некоторых приложений. Одна из важнейших причин, по которой эти классические результаты вызывают живой интерес и в наши дни, состоит в том, что квадратичные формы дают следующее (после линейного) приближение к любой дважды дифференцируемой функции и потому являются ключом к пониманию геометрии "искривления" любой гладкой многомерной поверхности.

В разделах Теоремы классификации и Самосопряженные операторы уже были доказаны общие теоремы о классификации квадратичных форм с помощью любых линейных или только ортогональных преобразований, поэтому здесь мы начнем с прояснения их геометрических следствий. Будем считать, что мы работаем в евклидовом пространстве со стандартной метрикой . Забвение евклидовой структуры означает лишь введение более грубого отношения эквивалентности между графиками. План геометрического исследования состоит в том, чтобы разобраться с малыми размерностями, где форму графика можно представить себе наглядно, и затем посмотреть на маломерные сечения многомерных графиков в разных направлениях. Рекомендуется рисовать картинки, иллюстрирующие приведенный текст. Мы считаем ось xn+1 направленной вверх, а пространство Rn расположенным горизонтально.

2. Одномерный случай. График кривой в R имеет три основных формы: "чаша" (выпуклость вниз) при , "купол" (выпуклость вверх) при и горизонтальная прямая при . Относительно линейной классификации, допускающей произвольное изменение масштаба вдоль оси x1, эти три случая исчерпывают все возможности: можно считать, что или 0.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник