Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


При ортогональной классификации является инвариантом: определяет крутизну стенок чаши или купола, она тем больше, чем больше . Другая характеризация состоит в том, что есть радиус кривизны графика на дне или в вершине (0, 0). Действительно, уравнение окружности радиуса R, касающейся оси x1 в начале, имеет вид , и вблизи нуля имеем .

3. Двумерный случай. Чтобы разобраться в нем, перейдем к ортонормированному базису в R2, в котором q приводится к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами: . Прямые, натянутые на элементы этого базиса, называются главными осями формы q; они, вообще говоря, повернуты относительно исходных осей. Числа и определены однозначно, будучи собственными значениями самосопряженного оператора A, для которого (в старых координатах). При сами оси также определены однозначно, но при их можно выбирать произвольно (лишь бы они были ортогональны). Для каждого из коэффициентов , есть три основные возможности , но соображения симметрии позволяют ограничиться четырьмя основными случаями (из которых только первые два невырождены).

а) . График является эллиптическим параболоидом, имеющим форму чаши. Прилагательное "эллиптический" объясняется тем, что проекции горизонтальных сечений при c > 0 суть эллипсы с полуосями , направленными вдоль главных осей формы q (при - окружности). (Эти проекции являются линиями уровня функции q.) Существительное "параболоид" объясняется тем, что сечения графика вертикальными плоскостями ay1 + by2 = 0 суть параболы (при график является параболоидом вращения).

Случай - это та же чаша, но опрокинутая.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник