Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


6. Теория Морса. Представим себе в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве Rn+1 n-мерную гладкую ограниченную гиперповерхность V, вроде яйца или баранки (тора) в R3. Рассмотрим сечения V гиперплоскостями xn+1 = const. Предположим, что имеется только конечное число значений c1, ..., cm таких, что гиперплоскости xn+1 = ci касаются V и притом в единственной точке . Вблизи этих точек касания V можно приблизить графиком квадратичной формы , если только V находится в достаточно общем положении (например, бублик не должен лежать горизонтально). Оказывается, что важнейшие топологические свойства V, - в частности, так называемый гомотопический тип V - вполне определяются набором сигнатур форм qi, т. е. указанием того, по скольким направлениям V вблизи уходит вниз и по скольким - вверх. Самое замечательное то, что, хотя информация о сигнатурах qi чисто локальна, восстанавливаемый по ней гомотопический тип V есть глобальная характеристика формы V. Например, если имеются только две критические точки c1 и c2 с сигнатурами (n, 0) и (0, n), то V топологически устроена как n-мерная сфера.

7. Самосопряженные операторы и многомерные квадрики. Пусть теперь L - конечномерное евклидово или унитарное пространство, - самосопряженный оператор. Нас интересуют свойства его спектра. Расположим собственные значения f в порядке убывания с учетом кратностей: и выберем соответствующий ортонормированный базис {e1, e2, ..., en}. Вернемся к точке зрения п. 4, согласно которой задание f равносильно заданию новой симметричной или эрмитовой формы (f(l1), l2) или же квадратичной формы qf(l) = (f(l), l) (в унитарном случае она квадратична на овеществленном пространстве). В базисе {e1, ..., en} она приобретает вид

или

и, таким образом, направления Rei (или Cei) суть главные оси qf.

Простейшее экстремальное свойство собственных значений выражается следующим фактом.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник