[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Жорданова нормальная форма / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Построим диаграмму D, отвечающую данному жорданову базису L = L(0). Размеры жордановых клеток - это высоты ее столбцов; если, как на чертеже, расположить столбцы в порядке убывания, то эти высоты однозначно определятся, если известны длины строк в диаграмме, начиная с нижней, в порядке убывания. Покажем, что длина нижней строки равна размерности L0 = Ker f. Действительно, возьмем любой собственный вектор l для f и представим его в виде линейной комбинации элементов D. В эту линейную комбинацию все векторы, находящиеся выше нижней строки, войдут с нулевыми коэффициентами. Действительно, если бы самые высокие векторы с ненулевыми коэффициентами лежали в строке с номером , то вектор fh-1(l) = 0 был бы нетривиальной линейной комбинацией элементов нижней строки D (ср. конец доказательства предложения п. 7), а это противоречит линейной независимости элементов D. Значит, нижняя строка D образует базис L0, так что ее длина равна dim L0, и потому эта длина одинакова для всех жордановых базисов. Точно так же длина второй строки не зависит от выбора базиса, так как она равна размерности Ker в L/L0 в обозначениях предыдущего пункта. Это завершает доказательство единственности и теоремы п. 1.

9. Замечания. а) Пусть оператор f представлен матрицей A в некотором базисе, тогда задача приведения A к жордановой форме может быть решена с помощью следующих действий.

Вычислить характеристический многочлен A и его корни.

Вычислить размеры жордановых клеток, отвечающих корням . Для этого достаточно вычислить длины строк соответствующих диаграмм, т. е. dim Ker(A - ), dim Ker(A - )2 - dim Ker(A - ), dim Ker(A - )3 - dim Ker(A - )2, ...

Построить жордановы форму J матрицы A и решить матричное уравнение AX - XJ = 0. Пространство решений этой линейной системы уравнений будет, вообще говоря, многомерно, и среди решений будут и вырожденные матрицы. Но по теореме существования обязательно есть невырожденные решения; можно взять любое из них.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник