[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Жорданова нормальная форма / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Покажем, что вид циклической клетки, отвечающей f, не зависит от выбора исходного циклического вектора. Для этого проверим, что первый столбец клетки состоит из коэффициентов минимального многочлена оператора .

В самом деле, M(f) = 0, потому что M(f)[fi(l)] = fi[M(f)l] = 0, а векторы fi(l) порождают L. С другой стороны, если N(t) - многочлен степени < n, то , потому что иначе, применив оператор N(f) = 0 к циклическому вектору l, получим нетривиальное линейное соотношение между векторами базиса l, f(l), ..., fn-1(l).

б) Критерий цикличности пространства. Согласно предыдущим рассмотрениям, если пространство L циклично относительно f, то его размерность n равна степени минимального многочлена оператора f и, стало быть, минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Обратное тоже верно: если операторы id, f, ..., fn-1 линейно независимы, то существует такой вектор l, что векторы l, f(l), ..., fn-1(l) линейно независимы, так что L циклично. Мы не будем доказывать это утверждение.

в) Матрица любого оператора в подходящем базисе может быть приведена к прямой сумме циклических клеток. Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы о жордановой форме. Вместо множителей характеристического многочлена следует рассматривать множители , где pi(t) - неприводимые над полем делители характеристического многочлена. Теорема единственности также имеет место, если ограничиться случаем, когда минимальные многочлены всех циклических клеток неприводимы. Без этого ограничения она неверна: циклическое пространство может быть прямой суммой двух циклических подпространств, минимальные многочлены которых взаимно просты.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник