Покажем, что вид циклической клетки, отвечающей f, не зависит от выбора исходного циклического вектора. Для этого проверим, что первый столбец клетки состоит из коэффициентов минимального многочлена оператора .

В самом деле, M(f) = 0, потому что M(f)[fⁱ(l)] = fⁱ[M(f)l] = 0, а векторы fⁱ(l) порождают L. С другой стороны, если N(t) - многочлен степени < n, то , потому что иначе, применив оператор N(f) = 0 к циклическому вектору l, получим нетривиальное линейное соотношение между векторами базиса l, f(l), ..., f^n-1(l).

б) Критерий цикличности пространства. Согласно предыдущим рассмотрениям, если пространство L циклично относительно f, то его размерность n равна степени минимального многочлена оператора f и, стало быть, минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Обратное тоже верно: если операторы id, f, ..., f^n-1 линейно независимы, то существует такой вектор l, что векторы l, f(l), ..., f^n-1(l) линейно независимы, так что L циклично. Мы не будем доказывать это утверждение.

в) Матрица любого оператора в подходящем базисе может быть приведена к прямой сумме циклических клеток. Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы о жордановой форме. Вместо множителей характеристического многочлена следует рассматривать множители , где p_i(t) - неприводимые над полем делители характеристического многочлена. Теорема единственности также имеет место, если ограничиться случаем, когда минимальные многочлены всех циклических клеток неприводимы. Без этого ограничения она неверна: циклическое пространство может быть прямой суммой двух циклических подпространств, минимальные многочлены которых взаимно просты.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-