Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Жорданова нормальная форма / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


б) Одно из важных приложений жордановой формы - вычисление функций от матриц (пока мы знакомы лишь с полиномиальными функциями). Пусть, скажем, нам нужно знать большую степень AN матрицы A. Так как степень жордановой матрицы вычислить легко (п. 13), экономный способ может состоять в использовании формулы AN = XJNX -1, где A = XJX -1: дело в том, что матрица X вычисляется раз навсегда и не зависит от N. Эту же формулу можно использовать для оценки роста элементов матрицы AN.

в) В терминах жордановой формы легко вычислить минимальный многочлен матрицы A. В самом деле, ограничимся для простоты случаем поля нулевой характеристики. Тогда минимальный многочлен равен , минимальный многочлен блочной матрицы равен , наконец, минимальный многочлен общей жордановой матрицы с диагональными элементами ( при ) равен , где rj - наибольший размер жордановой клетки, отвечающей .

10. Другие нормальные формы. В этом пункте вкратце опишем другие нормальные формы матриц, пригодные, в частности, для алгебраически незамкнутых полей.

а) Циклические пространства и циклические клетки. Пространство L называется циклическим относительно оператора f, если в L существует такой вектор l, также называемый циклическим, что векторы l, f(l), ..., fn-1(l) образуют базис L. Полагая ei = fn-i(l), i = 1, ... n = dim L, имеем

где однозначно определяются из соотношения . Матрица оператора f в таком базисе называется циклической клеткой. Наоборот, если матрица оператора f в базисе (e1, ..., en) является циклической клеткой, то вектор l = en цикличен, и ei = fn-i(en) (индукция вниз по i).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник