Линейные пространства и линейные отображения / Жорданова нормальная форма / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Доказательство. Допустим, . Полагая r = max(r1, r2), находим и . Следовательно, является линейным подпространством.
Если - собственное значение для f, то имеется собственный вектор, отвечающий , так что . Наоборот, пусть . Выберем наименьшее значение r, для которого . Очевидно, . Вектор является собственным для f с собственным значением : по выбору r и , откуда .
5. Предложение. , где пробегает все собственные значения оператора f, т. е. различные корни характеристического многочлена f.
Доказательство. Пусть - характеристический многочлен при . Положим . Проверим следующую серию утверждений.
а) , т. е. . Действительно, по теореме Гамильтона-Кэли.
б) L = L1 + ... + Ls. Действительно, так как многочлены Fi(t) в совокупности взаимно простые, существуют такие многочлены Xi(t), что . Поэтому, подставляя вместо t оператор f, имеем
Применяя это тождество к любому вектору , находим
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-
|