Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











Камин под лестницей гостиная с лестницей.
     Линейные пространства и линейные отображения / Жорданова нормальная форма / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Жорданова нормальная форма


1. Теорема о существовании и единственности жордановой нормальной формы для матриц и линейных операторов.
     Пусть - алгебраически замкнутое поле, L - конечномерное линейное пространство над , - линейный оператор. Тогда:

а) Для оператора f существует жорданов базис, т. е. его матрица A в некотором базисе может быть приведена заменой базиса X к жордановой форме: X -1AX = J.

б) Матрица J определена однозначно с точностью до перестановки входящих в нее жордановых клеток.

2. Доказательство теоремы разбивается на ряд промежуточных шагов. Начнем с конструкции прямого разложения , где Li - инвариантные подпространства для f, которые впоследствии будут отвечать набору жордановых клеток для f с одним и тем же числом на диагонали. Чтобы инвариантно охарактеризовать эти подпространства, вспомним, что . Оператор, некоторая степень которого равна нулю, принято называть нильпотентным. Итак, на подпространстве, отвечающем клетке , оператор нильпотентен; то же верно для его ограничения на сумму подпространств с фиксированным . Это мотивирует следующее определение.

3. Определение. Вектор называется корневым вектором оператора f, отвечающим , если существует такое r, что (здесь обозначает оператор ).

Очевидно, все собственные векторы корневые.

4. Предложение. Обозначим через множество корневых векторов оператора f в L, отвечающих . Тогда - линейное подпространство в L и тогда и только тогда, когда - собственное значение для f.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник