Линейные пространства и линейные отображения / Жорданова нормальная форма / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Построим диаграмму для элементов жорданова базиса оператора , в каждом ее столбце возьмем самый верхний вектор , i = 1, ..., m, и положим ![](Math/o01633.jpg) ![](Math/o02633.jpg) . Теперь построим диаграмму D из векторов пространства L следующим образом. Для i = 1, ..., m столбец с номером i диаграммы D будет состоять (сверху вниз) из векторов ![](Math/o01634.jpg) ![](Math/o02634.jpg) ![](Math/o03634.jpg) ![](Math/o04634.jpg) , где hi - высота i-го столбца в диаграмме . Так как ![](Math/o01635.jpg) , то ![](Math/o01636.jpg) и ![](Math/o01637.jpg) . Выберем базис линейной оболочки векторов ![](Math/o01638.jpg) ![](Math/o02638.jpg) в L0, дополним его до базиса L0 и поставим дополняющие векторы в качестве дополнительных столбцов (высоты единица) в нижней строке диаграммы D; f переводит их в нуль.
Таким образом, диаграмма D из векторов пространства L вместе с действием оператора f на ее элементы имеет в точности такой вид, как требуется для жорданова базиса. Нужно только проверить, что элементы D действительно образуют базис L.
Сначала покажем, что линейная оболочка векторов из D равна L. Пусть ![](Math/o01639.jpg) ![](Math/o02639.jpg) . По предположению ![](Math/o01640.jpg) ![](Math/o02640.jpg) ![](Math/o03640.jpg) . Так как L0 f-инвариантно, отсюда следует, что
![](Math/o01641.jpg) ![](Math/o02641.jpg) ![](Math/o03641.jpg) ![](Math/o04641.jpg) ![](Math/o05641.jpg) ![](Math/o06641.jpg)
Но все векторы ![](Math/o01642.jpg) ![](Math/o02642.jpg) ![](Math/o03642.jpg) , лежат в строках диаграммы D, начиная со второй снизу, а подпространство L0 порождено элементами первой строки D по построению. Поэтому l можно представить в виде линейной комбинации элементов D.
Остается проверить линейную независимость элементов D. Прежде всего, элементы нижней строки D линейно независимы. Действительно, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулю, то она должна иметь вид ![](Math/o01643.jpg) ![](Math/o02643.jpg) , т. к. остальные элементы нижней строки дополняют базис линейной оболочки ![](Math/o01644.jpg) ![](Math/o02644.jpg) до базиса L0. Но все ![](Math/o01645.jpg) поэтому
![](Math/o01646.jpg) ![](Math/o02646.jpg) ![](Math/o03646.jpg) ![](Math/o04646.jpg) ![](Math/o05646.jpg)
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-
|