Линейные пространства и линейные отображения / Структура линейного отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
б) Пусть ![](Math/o01504.jpg) - корень P(t). Тогда отображение ![](Math/o01508.jpg) - f представлено вырожденной матрицей и, значит, имеет нетривиальное ядро. Пусть ![](Math/o01505.jpg) - элемент из ядра; тогда ![](Math/o01506.jpg) , так что есть собственное значение для f, а l - соответствующий собственный вектор. Наоборот, если ![](Math/o01506.jpg) , то l лежит в ядре ![](Math/o01508.jpg) - f, так что ![](Math/o01510.jpg) ![](Math/o02510.jpg) ![](Math/o03510.jpg) ![](Math/o04510.jpg) .
7. Теперь мы видим, что оператор f вообще не имеет собственных значений и тем более не диагонализируем, если его характеристический многочлен P(t) не имеет корней в поле ![](Math/o011.JPG) . Это вполне может случиться над алгебраически не замкнутыми полями такими, как R и конечные поля. Например, пусть ![](Math/o01511.jpg) - матрица с вещественными элементами. Тогда
det(tE - A) = t2 - (a + d)t + (ad - bc),
и если (a + d)2 - 4(ad - bc) = (a - d)2 + 4bc < 0, то A недиагонализируема.
Таким образом, мы впервые столкнулись здесь со случаем, когда свойства линейных отображений существенно зависят от свойств поля.
Чтобы не принимать последние во внимание как можно дольше, в следующем параграфе до п. 9 мы будем предполагать, что поле ![](Math/o011.JPG) является алгебраически замкнутым. Если вы не знакомы с другими алгебраически замкнутыми полями, кроме C, можете всюду считать, что ![](Math/o011.JPG) = C. Алгебраическая замкнутость ![](Math/o011.JPG) равносильна любому из двух условий: а) любой многочлен от одной переменной P(t) с коэффициентами в ![](Math/o011.JPG) имеет корень ![](Math/o01504.jpg) ; б) любой такой многочлен P(t) может быть представлен в виде ![](Math/o01512.jpg) ![](Math/o02512.jpg) ![](Math/o03512.jpg) , где ![](Math/o01513.jpg) ![](Math/o02513.jpg) ![](Math/o03513.jpg) при ![](Math/o01514.jpg) ; это представление однозначно, если ![](Math/o01515.jpg) . В этом случае число ri называется кратностью корня многочлена P(t). Множество всех корней характеристического многочлена называется спектром оператора f. Если все кратности равны 1, говорят, что f имеет простой спектр.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-
|