Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Структура линейного отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


в) Рассмотрим многочлен M(t) со старшим коэффициентом единица, аннулирующий f и имеющий наименьшую возможную степень. Он называется минимальным многочленом оператора f. Очевидно, он определен однозначно: если M1(t), M2(t) - два таких многочлена, то M1(t) - M2(t) аннулирует f и имеет строго меньшую степень, так что M1(t) - M2(t) = 0.

г) Покажем, что любой многочлен, аннулирующий f, делится на минимальный многочлен f. Действительно, пусть Q(f) = 0. Разделим Q с остатком на M: Q(t) = X(t)M(t) + R(t), deg R(t) < deg M(t). Тогда R(f) = Q(f) - X(f)M(f) = 0, так что R = 0.

12. Теорема Гамильтона - Кэли. Характеристический многочлен P(t) оператора f аннулирует этот оператор.

Доказательство. Мы будем пользоваться этой теоремой и докажем ее только для случая алгебраически замкнутого поля , хотя она верна и без этого ограничения.

Проведем индукцию по dim L. Если L одномерно, то f есть умножение на скаляр и P(f) = 0.

Пусть и теорема доказана для пространств размерности n - 1. Выберем собственное значение оператора f и одномерное собственное подпространство , отвечающее . Пусть {e1} - базис L1; дополним его до базиса {e1, ..., en} пространства L. Матрица оператора f в этом базисе имеет вид

Поэтому . Оператор f определяет линейное отображение . Векторы , образуют базис , и матрица оператора в этом базисе равна A. Поэтому есть характеристический многочлен оператора , и по индуктивному предположению .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник