Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Структура линейного отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Доказательство. а) Положим L0 = Ker f, а в качестве L1 выберем прямое дополнение к L0: это возможно в силу п. 10. Затем положим M1 = Im f, а в качестве M2 выберем прямое дополнение к M1. Нужно лишь проверить, что f определяет изоморфизм L1 с M1. Отображение инъективно, потому что ядро f, т. е. L0, пересекается с L1 лишь по нулю. Оно сюръективно, потому что если , то f(l) = f(l1).

б) Положим r = dim L1 = dim M1 и выберем в L базис {e1, ..., er, er+1, ..., en}, где первые r векторов образуют базис L1, а следующие - базис L0. Далее, векторы , , образуют базис в M1 = Im f. Дополним его до базиса M векторами . Очевидно,

так что матрица f в этих базисах имеет требуемый вид.

в) Построим по матрице A линейное отображение f координатных пространств с этой матрицей, затем применим к нему утверждение б). В новых базисах матрица f будет иметь требуемый вид и выражаться через A в виде BAC, где B, C - матрицы перехода: см п. 7. Наконец, rk A = rk BAC = rk f = dim Im f. Это завершает доказательство.

Перейдем теперь к изучению линейных операторов. Начнем с введения простейшего класса: диагонализируемых операторов.

Назовем в общем случае подпространство инвариантным относительно оператора f, если .


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник