Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Структура линейного отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Согласно определению п. 3, диагонализируемые операторы f допускают разложение L в прямую сумму своих собственных подпространств. Выясним, когда у f имеется хотя бы одно собственное подпространство.

5. Определение. Пусть L - конечномерное линейное пространство, - линейный оператор, A - его матрица в каком-нибудь базисе. Обозначим через P(t) и назовем характеристическим многочленом оператора f, а также матрицы A, многочлен det(tE - A) с коэффициентами в поле (det - определитель).

6. Теорема. а) Характеристический многочлен линейного оператора f не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица.

б) Любое собственное значение оператора является корнем P(t) и любой корень P(t), лежащий в , является собственным значением для f, отвечающим некоторому (не обязательно единственному) собственному подпространству в L.

Доказательство. а) Согласно п. 7 матрица оператора f в другом базисе имеет вид B-1AB. Поэтому, пользуясь мультипликативностью определителя, находим

det(tE - B -1AB) = det(B -1(tE - A)B) =

= (det B) -1det(tE - A)det B = det(tE - A).

Заметим, что (обозначения из п. 8)


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник