Геометрия пространств со скалярным произведением / Симплектические пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8
Доказательство. Докажем несколько более сильный результат, полезный в приложениях, а именно установим существование подпространства L2 среди конечного числа изотропных подпространств, связанных с фиксированным симплектическим базисом {e1, ..., er; er+1, ..., e2r} в L.
Пусть дано разбиение ![](Math/o012164.jpg) ![](Math/o022164.jpg) ![](Math/o032164.jpg) ![](Math/o042164.jpg) ![](Math/o052164.jpg) на два непересекающихся подмножества. Тогда r векторов ![](Math/o012165.jpg) ![](Math/o022165.jpg) ![](Math/o032165.jpg) ![](Math/o042165.jpg) порождают r-мерное изотропное подпространство в L, называемое координатным (относительно выбранного базиса). Очевидно, их имеется 2r. Покажем, что L2 можно найти среди координатных подпространств.
Пусть M натянуто на {e1, ..., er} и ![](Math/o012166.jpg) ![](Math/o022166.jpg) ![](Math/o032166.jpg) ![](Math/o042166.jpg) ![](Math/o052166.jpg) ![](Math/o062166.jpg) . Существует такое подмножество ![](Math/o012167.jpg) ![](Math/o022167.jpg) ![](Math/o032167.jpg) ![](Math/o042167.jpg) из r - s элементов, что ![](Math/o012168.jpg) трансверсально к N, натянутому на ![](Math/o012169.jpg) ![](Math/o022169.jpg) , т. е. ![](Math/o012170.jpg) ![](Math/o022170.jpg) ![](Math/o032170.jpg) ![](Math/o042170.jpg) . Действительно, множество {базис ![](Math/o012171.jpg) }![](Math/o012172.jpg) ![](Math/o022172.jpg) ![](Math/o032172.jpg) ![](Math/o042172.jpg) порождает M, поэтому базис ![](Math/o012171.jpg) можно дополнить до базиса M с помощью r - s векторов из {e1, ..., er} по предложению п. 10. Номера этих векторов образуют искомое I, т. к. ![](Math/o012173.jpg) ![](Math/o022173.jpg) ![](Math/o032173.jpg) , так что ![](Math/o012170.jpg) ![](Math/o022170.jpg) ![](Math/o032170.jpg) ![](Math/o042170.jpg) .
Положим теперь ![](Math/o012174.jpg) ![](Math/o022174.jpg) ![](Math/o032174.jpg) ![](Math/o042174.jpg) и покажем, что изотропное подпространство L2, натянутое на ![](Math/o012175.jpg) ![](Math/o022175.jpg) ![](Math/o032175.jpg) ![](Math/o042175.jpg) ![](Math/o052175.jpg) ![](Math/o062175.jpg) , является прямым дополнением к L1. Достаточно проверить, что ![](Math/o012176.jpg) ![](Math/o022176.jpg) ![](Math/o032176.jpg) ![](Math/o042176.jpg) . Действительно, из доказательства предложения п. 2 следует, что ![](Math/o012177.jpg) ![](Math/o022177.jpg) ![](Math/o032177.jpg) ![](Math/o042177.jpg) . Но ![](Math/o012178.jpg) содержится в L1, N содержится в L2, так что сумма ![](Math/o012179.jpg) ![](Math/o022179.jpg) ![](Math/o032179.jpg) ![](Math/o042179.jpg) ортогональна к ![](Math/o012180.jpg) . Но M изотропно размерности r, поэтому ![](Math/o012181.jpg) , и ![](Math/o012182.jpg) ![](Math/o022182.jpg) ![](Math/o032182.jpg) . Значит, окончательно
![](Math/o012183.jpg) ![](Math/o022183.jpg) ![](Math/o032183.jpg) ![](Math/o042183.jpg) ![](Math/o052183.jpg) ![](Math/o062183.jpg) ![](Math/o072183.jpg) ![](Math/o082183.jpg) ![](Math/o092183.jpg) ![](Math/o102183.jpg) ![](Math/o112183.jpg) ![](Math/o122183.jpg) ![](Math/o132183.jpg) ![](Math/o142183.jpg) ![](Math/o152183.jpg)
-1-2-3-4-5-6-7-8-
|