Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Симплектические пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8


Линейное отображение ставит в соответствие вектору линейную форму на L1. Оно является изоморфизмом, т. к. , а его ядро содержится в ядре формы [ , ], которая, по предположению, невырождена. Это завершает доказательство.

4. Следствие. Любые пары взаимно дополнительных изотропных подпространств в L одинаково расположены: если , то существует изометрия такая, что .

Доказательство. Выберем базис {e1, ..., er} в L1 и двойственный к нему базис {er+1, ..., e2r} в L2 относительно описанного выше отождествления . Очевидно, {e1, ..., e2r} есть симплектический базис в L. Аналогично построим симплектический базис по разложению . Линейное отображение , i = 1, ..., 2r, очевидно, является требуемой изометрией.

Из этого следствия и предложений пп. 2, 3 следует, что любые изотропные подпространства одинаковой размерности в L переводятся одно в другое подходящей изометрией.

5. Симплектическая группа. Множество всех изометрий симплектического пространства образует группу. Множество матриц, представляющих эту группу в симплектическом базисе {e1, ..., e2r}, называется симплектической группой и обозначается , если dim L = 2r. Условие равносильно тому, что матрица Грама базиса {e1, ..., e2r}A совпадает с , т. е. что AtI2rA = I2r, так что ; ниже докажем, что det A = 1 (см. п. 11). Поскольку , это условие можно записать также в виде A = -I2r(At) -1I2r. Отсюда вытекает


-1-2-3-4-5-6-7-8-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник