Линейное отображение ставит в соответствие вектору линейную форму на L₁. Оно является изоморфизмом, т. к. , а его ядро содержится в ядре формы [ , ], которая, по предположению, невырождена. Это завершает доказательство.

4. Следствие. Любые пары взаимно дополнительных изотропных подпространств в L одинаково расположены: если , то существует изометрия такая, что .

Доказательство. Выберем базис {e₁, ..., e_r} в L₁ и двойственный к нему базис {e_r+1, ..., e_2r} в L₂ относительно описанного выше отождествления . Очевидно, {e₁, ..., e_2r} есть симплектический базис в L. Аналогично построим симплектический базис по разложению . Линейное отображение , i = 1, ..., 2r, очевидно, является требуемой изометрией.

Из этого следствия и предложений пп. 2, 3 следует, что любые изотропные подпространства одинаковой размерности в L переводятся одно в другое подходящей изометрией.

5. Симплектическая группа. Множество всех изометрий симплектического пространства образует группу. Множество матриц, представляющих эту группу в симплектическом базисе {e₁, ..., e_2r}, называется симплектической группой и обозначается , если dim L = 2r. Условие равносильно тому, что матрица Грама базиса {e₁, ..., e_2r}A совпадает с , т. е. что A^tI_2rA = I_2r, так что ; ниже докажем, что det A = 1 (см. п. 11). Поскольку , это условие можно записать также в виде A = -I_2r(A^t) ^-1I_2r. Отсюда вытекает

-1-2-3-4-5-6-7-8-