6. Предложение. Характеристический многочлен P(t) = det(tE_2r - A) симплектической матрицы A возвратен, т. е. P(t) = t^2rP(t ^-1).

Доказательство. Имеем, пользуясь тем, что det A = 1,

det(tE_2r - A) = det(tE_2r + I_2r(A^t) ^-1I_2r) = det(tE_2r - (A^t) ^-1) =

= det(tA^t - E_2r) = t^2rdet(t ^-1E_2r - A^t) = t^2rdet(t ^-1E_2r - A).

7. Следствие. Если = R и A - симплектическая матрица, то вместе с каждым собственным значением у A есть собственные значения и .

Доказательство. Поскольку A невырождена, и . Поскольку коэффициенты P вещественны, .

Комплексное сопряжение есть симметрия относительно вещественной оси, а отображение - симметрия относительно единичной окружности. Значит, комплексные собственные значения A появляются четверками, симметричными одновременно относительно вещественной оси и единичной окружности, а вещественные собственные значения - парами.

8. Пфаффиан. Пусть - координатное пространство, A - невырожденная кососимметрическая матрица порядка 2r над . Скалярное произведение в невырождено и кососимметрично. Переходя от исходного базиса к симплектическому, получаем, что для матрицы A найдется такая невырожденная матрица B, что

-1-2-3-4-5-6-7-8-