Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Двойственность / 1 2 3 4 5


Двойственность


Теория двойственности получила свое название благодаря тому, что она выявляет ряд свойств "двусторонней симметрии" линейных пространств, довольно трудных для наглядного воображения, но совершенно фундаментальных. Достаточно сказать, что дуализм "волна - частица" в квантовой механике адекватно выражается именно на языке линейной двойственности бесконечномерных линейных пространств (точнее, соединения линейной и групповой двойственности в технике анализа Фурье).

1. Симметрия между L и L*. Пусть . Вместо f(l) мы будем писать (f, l) (в знак аналогии со скалярным произведением - но векторов из разных пространств!). Таким образом, мы определили отображение . Оно линейно по каждому из двух аргументов f, l при фиксированном втором:

(f1 + f2, l) = (f1, l) + (f2, l), (af1, l) = a(f1, l),

(f , l1 + l2) = (f, l1) + (f, l2), (f, al1) = a(f, l1).

Вообще, отображения с таким свойством называются билинейными, а также спариваниями между пространствами L и M. Введенное выше спаривание между L и L* называется каноническим.

Отображение из п. 10, как видно из его определения, можно задать условием:

где слева стоит символ спаривания между L** и L*, а справа - между L* и L. Если , так что является изоморфизмом, и мы условимся отождествлять L** и L посредством , эта формула приобретает симметричный вид (l, f) = (f, l). Иными словами, мы можем также рассматривать L как пространство, двойственное к L*.


-1-2-3-4-5-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник