Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Двойственность / 1 2 3 4 5


Основные свойства сопряженных отображений собраны в следующей теореме:

4. Теорема. а) (f + g)* = f* + g*;

б) (af)* = af*; здесь и ;

в) (fg)* = g*f*; здесь ;

г) id* = id, 0* = 0;

д) если канонически отождествить L** с L и M** с M, то отождествляется с .

Доказательство. Если считать, что L и M конечномерны, то проще всего проверить все эти утверждения, представив f, g матрицами в двойственных базисах и воспользовавшись простыми свойствами операции транспонирования:

(aA + bB)t = aAt + bBt, (AB)t = BtAt, Et = E, 0t = 0, (At)t = 0.

Инвариантная проверка - в качестве упражнения.

5. Двойственность между подпространствами в L и в L*. Пусть - некоторое линейное подпространство. Обозначим через и будем называть ортогональным дополнением к M множество функционалов, обращающихся в нуль на M. Другими словами,

для всех .

Легко видеть, что является линейным пространством. В следующих утверждениях собраны основные свойства этой конструкции (L предполагается конечномерным).


-1-2-3-4-5-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник