3. Двойственное, или сопряженное отображение. Пусть - линейное отображение линейных пространств. Покажем, что существует единственное линейное отображение , которое удовлетворяет условию

(f^*(m^*), l) = (m^*, f(l))

для любых векторов , .

а) Единственность f^*. Пусть - два таких отображения. Тогда для всех , , откуда следует что . Фиксируем m^* и будем менять l. Тогда элемент как линейный функционал на L принимает только нулевые значения и, значит, равен нулю. Поэтому

б) Существование f^*. Фиксируем и рассмотрим выражение (m^*, f(l)) как функцию на L. В силу линейности f и билинейности (,) эта функция линейна. Значит, она принадлежит L^*. Обозначим ее через f^*(m^*). Равенства

следует из линейности (m^*, f(l)), по m^*. Значит f^* - линейное отображение.

Пусть в L, M выбраны некоторые базисы, а в L^*, M^* - двойственные базисы. Пусть f в этих базисах представлено матрицей A. Утверждаем, что f^* в двойственных базисах представлено транспонированной матрицей A^t. В самом деле, пусть B - матрица f^*. Согласно определениям и п. 2 имеем, обозначив вектор-столбцы координат m^*, l через ,

Из ассоциативности умножения матриц и единственности f^* следует, что A = B^t, т. е. B = A^t.

-1-2-3-4-5-