Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Двойственность / 1 2 3 4 5


3. Двойственное, или сопряженное отображение. Пусть - линейное отображение линейных пространств. Покажем, что существует единственное линейное отображение , которое удовлетворяет условию

(f*(m*), l) = (m*, f(l))

для любых векторов , .

а) Единственность f*. Пусть - два таких отображения. Тогда для всех , , откуда следует что . Фиксируем m* и будем менять l. Тогда элемент как линейный функционал на L принимает только нулевые значения и, значит, равен нулю. Поэтому

б) Существование f*. Фиксируем и рассмотрим выражение (m*, f(l)) как функцию на L. В силу линейности f и билинейности (,) эта функция линейна. Значит, она принадлежит L*. Обозначим ее через f*(m*). Равенства

следует из линейности (m*, f(l)), по m*. Значит f* - линейное отображение.

Пусть в L, M выбраны некоторые базисы, а в L*, M* - двойственные базисы. Пусть f в этих базисах представлено матрицей A. Утверждаем, что f* в двойственных базисах представлено транспонированной матрицей At. В самом деле, пусть B - матрица f*. Согласно определениям и п. 2 имеем, обозначив вектор-столбцы координат m*, l через ,

Из ассоциативности умножения матриц и единственности f* следует, что A = Bt, т. е. B = At.


-1-2-3-4-5-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник