Линейные пространства и линейные отображения / Двойственность / 1 2 3 4 5
а) Имеется канонический изоморфизм   . Строится он так: многообразию  ставится в соответствие ограничение функционала l* на M. От выбора l* оно не зависит, т. к. ограничения функционалов из на M нулевые. Линейность этого отображения очевидна. Оно сюръективно, т. к. всякий линейный функционал на M продолжается до некоторого функционала на L.
В самом деле, пусть {e1, ..., em} - базис в M, {e1, ..., em, em+1, ..., en} - его продолжение до базиса L. Функционал f на M, заданный значениями f(e1), ..., f(en), продолжается на L, например, если положить f(em+1) = ... = f(en) = 0.
Наконец, построенное отображение   инъективно. В самом деле, у него нулевое ядро: если ограничение l* на M равно нулю, то  и   - нулевой элемент из  .
б) dim M + dim = dim L. Действительно, это следует из предыдущего утверждения, следствия п.6 и того, что dim L* = dim L, dim M* = dim M.
в) При каноническом отождествлении L** с L пространство  совпадает с M.
Действительно, так как (m*, m) = 0 для всех m* и данного  , ясно, что   . Но, кроме того, по предыдущему свойству, примененному дважды,
      
Значит,  .
г)          
Доказательство - в качестве упражнения.
-1-2-3-4-5-
|