Геометрия пространств со скалярным произведением / Ортогональные и унитарные операторы / 1 2 3 4 5 6 7
в) Собственные векторы ортогонального или унитарного оператора, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. а) Достаточность утверждения очевидна: если ![](Math/o011517.jpg) ![](Math/o021517.jpg) ![](Math/o031517.jpg) ![](Math/o041517.jpg) ![](Math/o051517.jpg) ![](Math/o061517.jpg) ![](Math/o071517.jpg) ![](Math/o081517.jpg) , то ![](Math/o011518.jpg) ![](Math/o021518.jpg) , так что U - матрица унитарного оператора. Наоборот, пусть f - унитарный оператор, - его собственное значение, - соответствующее собственное подпространство. По предложению п. 2 имеем ![](Math/o011521.jpg) ![](Math/o021521.jpg) ![](Math/o031521.jpg) ![](Math/o041521.jpg) . Подпространство одномерно, f-инвариантно, и ограничение f на является одномерным унитарным оператором, поэтому ![](Math/o011522.jpg) , т. е. ![](Math/o011523.jpg) . Если мы покажем, что подпространство также f-инвариантно, то индукцией по dim L отсюда можно будет вывести, что L разлагается в прямую сумму f-инвариантных попарно ортогональных одномерных подпространств, что докажет требуемое.
В самом деле, если ![](Math/o011525.jpg) ![](Math/o021525.jpg) ![](Math/o031525.jpg) ![](Math/o041525.jpg) и (l0, l) = 0, то
![](Math/o011526.jpg) ![](Math/o021526.jpg) ![](Math/o031526.jpg) ![](Math/o041526.jpg) ![](Math/o051526.jpg) ![](Math/o061526.jpg) ![](Math/o071526.jpg) ![](Math/o081526.jpg) ![](Math/o091526.jpg) ![](Math/o101526.jpg) ![](Math/o111526.jpg) ![](Math/o121526.jpg)
так что ![](Math/o011527.jpg) ![](Math/o021527.jpg) .
б) В ортогональном случае рассуждения аналогичны: непосредственно проверяется достаточность условия и затем проводится индукция по dim L. Случаи dim L = 1, 2 разобраны в предыдущем пункте. Если ![](Math/o011528.jpg) ![](Math/o021528.jpg) и f имеет вещественное собственное значение , нужно снова положить ![](Math/o011521.jpg) ![](Math/o021521.jpg) ![](Math/o031521.jpg) ![](Math/o041521.jpg) и рассуждать, как выше (заметим, что здесь обязательно ![](Math/o011529.jpg) ![](Math/o021529.jpg) ). Наконец, если f не имеет вещественных собственных значений, то следует выбрать двумерное f-инвариантное подпространство ![](Math/o011530.jpg) , которое существует по предположению п. 16. На нем матрица органичения f в любом ортонормированном базисе будет иметь вид ![](Math/o011531.jpg) в силу предыдущего пункта.
-1-2-3-4-5-6-7-
|