Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Ортогональные и унитарные операторы / 1 2 3 4 5 6 7


Ортогональные и унитарные операторы


1. Пусть L - линейное пространство со скалярным произведением g. Множество всех изометрий , т. е. обратимых линейных операторов с условием

g(f(l1), f(l2)) = g(l1, l2)

для всех , очевидно, образует группу. Если L - евклидово пространство, такие операторы называются ортогональными, а если L унитарно, то унитарными. Симплектические изометрии будут рассмотрены позже.

2. Предложение. Пусть L - конечномерное линейное пространство с невырожденным скалярным произведением ( , ), симметричным или эрмитовым. Для того чтобы оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий:

а) (f(l), f(l)) = (l, l) для всех (здесь предполагается, что характеристика поля скаляров отлична от двух);

б) пусть {e1, ..., en} - базис в L с матрицей Грама G, A - матрица оператора f в этом базисе. Тогда

, или ;

в) f переводит некоторый ортонормированный базис в ортонормированный базис;


-1-2-3-4-5-6-7-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник