Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Ортогональные и унитарные операторы / 1 2 3 4 5 6 7


Поэтому остается проверить, что подпространство также f-инвариантно. Действительно, если (l0, l) = 0 для всех , то

(l0, f(l)) = (f(f -1(l0)), f(l)) = (f -1(l0), l) = 0,

т. к. для всех . Это завершает доказательство.

в) Пусть . Тогда

Так как , при имеем . Следовательно, (l1, l2) = 0. Это рассуждение применимо одновременно к унитарному и ортогональному случаю. Доказательство окончено.

5. Следствие ("теорема Эйлера"). В трехмерном евклидовом пространстве любое ортогональное отображение f, не меняющее ориентацию (т. е. элемент группы SO(3)), является вращением относительно некоторой оси.

Доказательство. Так как характеристический многочлен f имеет степень 3, у него обязательно есть вещественный корень. Если он единственный, то он должен быть равен 1, т. к. det f = 1. Если есть больше одного вещественного корня, то все корни вещественные, и возможны комбинации (1, 1, 1) или (1, -1, -1). В любом случае собственное значение 1 имеется. Соответствующее собственное подпространство является осью вращения, а в ортогональной к нему плоскости индуцируется элемент SO(2), т. е. вращение на некоторый угол.


-1-2-3-4-5-6-7-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник