б) Если f-изометрия, то матрицы Грама базисов {e₁, ..., e_n} и {f(e₁), ..., f(e_n)} совпадают. Но последняя матрица Грама равна A^tGA в симметричном и в эрмитовом случае. Наоборот, если f переводит базис {e₁, ..., e_n} в и матрицы Грама базисов {e_i} и совпадают, то f-изометрия в силу формул координатной записи скалярного произведения из п. 2.

в), г). Эти утверждения являются частными случаями предыдущих.

Из предложения п. 2 следует, что ортогональные (соответственно унитарные) операторы - это операторы, которые в одном (и потому в любом) ортонормированном базисе задаются ортогональными (соответственно унитарными) матрицами, т. е. матрицами U, которые удовлетворяют соотношениям

или .

Множества таких матриц размера были введены впервые в разделе Матрицы: они обозначались O(n) и U(n) соответственно. Аналогично, матрицы изометрий в ортонормированных базисах сигнатур (p, q), удовлетворяющие условиям г) предложения п. 2, обозначаются O(p, q) и U(p, q); при они называются иногда псевдоортогональными и псевдоунитарными соответственно. В этом разделе мы будем заниматься только группами O(n) и U(n). Фундаментальная для физики группа Лоренца O(1, 3) будет рассмотрена в разделе Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов.

3. Группы U(1), O(1) и O(2). Из определения немедленно следует, что

-1-2-3-4-5-6-7-