Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Ортогональные и унитарные операторы / 1 2 3 4 5 6 7


б) Если f-изометрия, то матрицы Грама базисов {e1, ..., en} и {f(e1), ..., f(en)} совпадают. Но последняя матрица Грама равна AtGA в симметричном и в эрмитовом случае. Наоборот, если f переводит базис {e1, ..., en} в и матрицы Грама базисов {ei} и совпадают, то f-изометрия в силу формул координатной записи скалярного произведения из п. 2.

в), г). Эти утверждения являются частными случаями предыдущих.

Из предложения п. 2 следует, что ортогональные (соответственно унитарные) операторы - это операторы, которые в одном (и потому в любом) ортонормированном базисе задаются ортогональными (соответственно унитарными) матрицами, т. е. матрицами U, которые удовлетворяют соотношениям

или .

Множества таких матриц размера были введены впервые в разделе Матрицы: они обозначались O(n) и U(n) соответственно. Аналогично, матрицы изометрий в ортонормированных базисах сигнатур (p, q), удовлетворяющие условиям г) предложения п. 2, обозначаются O(p, q) и U(p, q); при они называются иногда псевдоортогональными и псевдоунитарными соответственно. В этом разделе мы будем заниматься только группами O(n) и U(n). Фундаментальная для физики группа Лоренца O(1, 3) будет рассмотрена в разделе Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов.

3. Группы U(1), O(1) и O(2). Из определения немедленно следует, что


-1-2-3-4-5-6-7-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник