Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Факторпространства / 1 2 3 4 5 6


Факторпространства


1. Пусть L - линейное пространство, - его линейное подпространство, а - вектор. Различные вопросы приводят к рассмотрению множеств вида

"сдвигов" линейного пространства M на вектор l. Вскоре мы убедимся, что такие сдвиги не обязаны быть линейными подпространствами в L; их называют линейными подмногообразиями. Начнем с доказательства следующей леммы.

2. Лемма. l1 + M1 = l2 + M2 тогда и только тогда, когда M1 = M2 = M и . Таким образом, всякое линейное подмногообразие однозначно определяет линейное подпространство M, сдвигом которого оно является. Вектор же сдвига определяется лишь с точностью до элемента из этого подпространства.

Доказательство.

Прежде всего, пусть . Положим l1 - l2 = m0. Имеем

Но когда m пробегает все векторы из M, m - m0 тоже пробегает все векторы из M. Поэтому l1 + M = l2 + M.

Наоборот, пусть l1 + M1 = l2 + M2. Положим m0 = l1 + l2. Из определения ясно, что тогда m0 + M1 = M2. Так как , мы должны иметь . Значит, m0 + M1 = M1 по рассуждению в предыдущем абзаце, так что M1 = M2 = M. Это завершает доказательство.


-1-2-3-4-5-6-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник