Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Факторпространства / 1 2 3 4 5 6


где все отображения, кроме h, - канонические вложения и факторизация, а h - единственное отображение, делающее коммутативной диаграмму

Оно определено однозначно, потому что Ker c = Ker g, и является изоморфизмом, потому что обратное отображение тоже существует и определено однозначно.

Смысл объединения этих пространств в пары (с приставкой "ко" и без нее) объясняется в теории двойственности.

10. Конечномерная альтернатива Фредгольма. Пусть - линейное отображение. Число

ind g = dim Coker g - dim Ker g

называется индексом оператора g. Из предыдущего пункта следует, что если L и M конечномерны, то индекс g зависит только от L и M:

ind g = (dim M - dim Im g) - (dim L - dim Im g) = dim M - dim L.

В частности, если dim M = dim L, например, если g - линейный оператор на L, то ind g = 0 для любого g. Отсюда вытекает так называемая альтернатива Фредгольма:

либо уравнение g(x) = y разрешимо для всех y, и тогда уравнение g(x) = 0 имеет лишь нулевые решения;

либо это уравнение разрешимо не для всех y, и тогда однородное уравнение g(x) = 0 имеет ненулевые решения.

Точнее, если ind g = 0, то размерность пространства решений однородного уравнения равна коразмерности пространства правых частей, при которых разрешимо неоднородное уравнение.


-1-2-3-4-5-6-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник