Геометрия в целом

Геометрия в целом – геометрические теории, предметом изучения которых является полный геометрический образ (вся кривая, вся поверхность, все пространство, аналогично – все отображение одного геометрического объекта, аналогично – все отображение одного геометрического образа или всего поля геометрического объекта на другое). Термин «Геометрия в целом» возник в немецкой математической литературе в начале 20 века в связи с противопоставлением геометрии в целом геометрии в малом – теориям, в которых геометрический образ (аналогично – поле, отображение) изучается только в достаточно малых областях, как это имело место в классической дифференциальной геометрии, методы которой были недостаточны для нужд геометрии в целом. При отсутствии указанного противопоставления, когда рассматривают только объекты в целом (в элементарной геометрии, в топологии многообразий), термин «Геометрия в целом» не употребляется.

Качественное отличие свойств в целом от свойств в малом проявилось прежде всего в вопросах жесткости, изгибаемости, изометричных погружений поверхностей; в поведении геодезических линий; в возможности задавать метрику с определенными свойствами на различных многообразиях. Такие проблемы породили самостоятельные теории, например, вариационное исчисление в целом. Развитие более приспособленных для геометрии в целом методов современной дифференциальной геометрии открыло возможность получения многих качественных результатов и количественных соотношений в целом для регулярных геометрических структур на многомерных лишенных особенностей многообразиях.

Особенности часто неминуемо возникают при продолжении гладких погруженных многообразий или полей на них. Кроме того, решение многих экстремальных задач достигается именно на нерегулярных объектах. Поэтому многие вопросы геометрии в целом более естественно ставятся в классах, включающих нерегулярные объекты. Это требует создания методов, отличных от дифференциально-геометрических. Такие подходы, объединяющие исследование в целом с исследованием особенностей, развиты для двумерных поверхностей геометрической школой А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова, А. В. Погорелова, в которой получены наиболее законченные результаты в теории поверхностей.

-1-2-3-4-5-