Роль алгебры в современной математике исключительно велика, и существует объективная тенденция к дальнейшей «алгебраизации» математики. Типичный путь изучения многих математических объектов, порой очень далеких от алгебры, состоит в построении алгебраических систем, достаточно хорошо отражающих поведение изучаемых объектов. Так, изучение групп Ли во многом сводится к изучению их алгебраических отражений – Ли алгебр. Аналогичный метод используется в топологии – каждому топологическому пространству сопоставляется некоторым стандартным способом бесконечная серия групп гомологий, и эти серии алгебраических отражений позволяют очень точно судить о свойствах самих пространств. Именно с помощью алгебры последние крупные открытия в топологии.

Казалось бы, перевод задач на язык алгебры, решение их на этом языке, а затем обратный перевод только усложняют дело. В действительности такой путь оказывается весьма выгодным, а порой и единственно возможным. Объясняется это тем, что алгебраизация позволяет применить для решения задачи не только чисто словесные рассуждения, но и мощный аппарат формальных алгебраических вычислений, сокрушающий подчас самые сложные препятствия. Эта роль алгебры в математическом творчестве напоминает роль современных ЭВМ в задачах практики.

Алгебраические понятия и методы широко применяются в теории чисел, в функциональном анализе, в теории дифференциальных уравнений, в геометрии и в других математических дисциплинах.

Наряду с фундаментальной ролью внутри математики алгебра имеет большое прикладное значение – следует отметить ее выходы в физику (теория представлений конечных групп в квантовой механике, дискретные группы в кристаллографии), в кибернетику (теория автоматов), в математическую экономику (линейные неравенства).

-1-2-3-4-5-