Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Язык категорий / 1 2 3 4 5 6 7 8


4. Естественные конструкции и функторы. В математике весьма важны конструкции, которые можно применять к объектам некоторой категории так, что при этом снова получаются объекты категории (другой или той же самой). Если эти конструкции являются однозначными (не зависят от произвольных выборов) и универсально применимы, то часто оказывается, что они переносятся и на морфизмы. Аксиоматизация ряда примеров привела к важному понятию функтора, впрочем, естественному и с чисто категорной точки зрения.

5. Определение функтора. Пусть C, D - две категории. Функтором F из категории C в категорию D называется задание двух отображений (обычно обозначаемых также F): Ob C Ob D, Mor C Mor D, которые удовлетворяют следующим условиям:

а) если , то ;

б) F(gf) = F(g)F(f) всякий раз, когда композиция gf определена, и F(idX) = idF(X) для всех X Ob C.

Функторы, которые мы определили, часто называют ковариантными функторами. Определяют также контравариантные функторы, "обращающие стрелки": для них условия а) и б) заменяются условиями

а') если , то ;

б') F(gf) = F(f)F(g) и F(idX) = idF(X).

Можно избежать этого различения, если ввести конструкцию, ставящую в соответствие каждой категории C дуальную категорию по правилу: Ob C = Ob , Mor C = Mor и , причем композиции gf морфизмов в C отвечает композиции fg этих же морфизмов в , взятых в обратном порядке. Удобно обозначать через , объекты и морфизмы в , отвечающие объектам и морфизмам X, f в C.


-1-2-3-4-5-6-7-8-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник