3. Диаграммы. Поскольку в аксиоматике категорий ничего не говорится о теоретико-множественной структуре объектов, мы не можем в общем случае работать с "элементами" этих объектов. Все основные общекатегорные конструкции и их приложения к конкретным категориям формулируются преимущественно в терминах морфизмов и их композиции. Удобный язык для таких формулировок - это язык диаграмм. Например, вместо того чтобы говорить, что у нас имеются четыре объекта X, Y, U, V, четыре морфизма и , причем gf = dh, говорят, что задан коммутативный квадрат

"Коммутативность" здесь - это равентство gf = dh, которое означает, что "два пути вдоль стрелок" от X к V приводят к одному и тому же результату. Таким образом, диаграмма - это ориентированный граф, вершины которого являются объектами C, а ребра - морфизмами, например

Диаграмма называется коммутативной, если любые пути вдоль стрелок в ней с общими началом и концом отвечают одинаковым морфизмам.

В категории линейных пространств, а также в категории абелевых групп особенно важен класс диаграмм, называемых комплексами. Комплекс имеет вид последовательности объектов и стрелок

-1-2-3-4-5-6-7-8-