Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теорема Витта и группа Витта / 1 2 3 4 5 6


Это следствие есть обобщение принципа инерции на произвольные поля скаляров, сводящее классификацию ортогональных пространств к классификации анизотропных пространств или, на языке квадратичных форм, к классификации форм, не представляющих нуля, для которых из q(l) = 0 следует, что l = 0.

8. Группа Витта. Пусть - поле скаляров. Обозначим через множество классов анизотропных ортогональных пространств над (с точностью до изометрии), дополненное классом нулевого пространства. Введем на следующую операцию сложения: если L1, L2 - два анизотропных пространства, [L1], [L2] - их классы в , то [L1] + [L2] - класс анизотропной части (справа стоит ортогональная внешняя прямая сумма).

Нетрудно убедиться, что определение корректно. Далее, эта операция сложения ассоциативна, и класс нулевого пространства служит нулем в . Более того, имеет место

9. Теорема. а) с введенной операцией сложения является абелевой группой, называемой группой Витта поля .

б) Пусть La означает одномерное координатное пространство над со скалярным произведением . Тогда [La] зависит только от смежного класса , и элементы [La] составляют систему образующих группы .

Доказательство. Нам осталось убедиться, что у каждого элемента существует обратный. Действительно, пусть L - анизотропное пространство с метрикой, которая в ортогональном базисе {e1, ..., en} задана формой . Обозначим через пространство L с метрикой - и покажем, что гиперболично, так что в . Действительно, метрика в задана формой . Но плоскость с метрикой a(x2 - y2), очевидно, гиперболична, т. к. форма невырождена, а вектор (1, 1) изотропен. То, что [La] зависит лишь от , было проверено в п. 7. Кроме того, каждое n-мерное ортогональное пространство разлагается в прямую ортогональную сумму одномерных пространств вида La. Это завершает доказательство.


-1-2-3-4-5-6-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник