Это следствие есть обобщение принципа инерции на произвольные поля скаляров, сводящее классификацию ортогональных пространств к классификации анизотропных пространств или, на языке квадратичных форм, к классификации форм, не представляющих нуля, для которых из q(l) = 0 следует, что l = 0.

8. Группа Витта. Пусть - поле скаляров. Обозначим через множество классов анизотропных ортогональных пространств над (с точностью до изометрии), дополненное классом нулевого пространства. Введем на следующую операцию сложения: если L₁, L₂ - два анизотропных пространства, [L₁], [L₂] - их классы в , то [L₁] + [L₂] - класс анизотропной части (справа стоит ортогональная внешняя прямая сумма).

Нетрудно убедиться, что определение корректно. Далее, эта операция сложения ассоциативна, и класс нулевого пространства служит нулем в . Более того, имеет место

9. Теорема. а) с введенной операцией сложения является абелевой группой, называемой группой Витта поля .

б) Пусть L_a означает одномерное координатное пространство над со скалярным произведением . Тогда [L_a] зависит только от смежного класса , и элементы [L_a] составляют систему образующих группы .

Доказательство. Нам осталось убедиться, что у каждого элемента существует обратный. Действительно, пусть L - анизотропное пространство с метрикой, которая в ортогональном базисе {e₁, ..., e_n} задана формой . Обозначим через пространство L с метрикой - и покажем, что гиперболично, так что в . Действительно, метрика в задана формой . Но плоскость с метрикой a(x² - y²), очевидно, гиперболична, т. к. форма невырождена, а вектор (1, 1) изотропен. То, что [L_a] зависит лишь от , было проверено в п. 7. Кроме того, каждое n-мерное ортогональное пространство разлагается в прямую ортогональную сумму одномерных пространств вида L_a. Это завершает доказательство.

-1-2-3-4-5-6-