[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теорема Витта и группа Витта / 1 2 3 4 5 6


6. Следствие. Пусть L - невырожденное ортогональное пространство. Тогда любое изотропное подпространство L содержится в максимальном изотропном подпространстве, и для двух максимальных изотропных подпространств L', L" существует изометрия , переводящая L' в L".

Доказательство. Первое утверждение тривиально. Для доказательства второго допустим, что . Любая линейная инъекция является изометрией L' с Im f'. Поэтому она продолжается до изометрии . Тогда и изотропно. Так как L' максимально, dim L' = dim f -1(L") = dim L".

7. Следствие. Для любого ортогонального пространства L существует ортогональное прямое разложение , где L0 изотропно, Lh гиперболично и Ld анизотропно. Для любых двух таких разложений существует изометрия , переводящая одно из них в другое.

Доказательство. Возьмем в качестве L0 ядро скалярного произведения. Разложим L в прямую сумму . В L1 возьмем максимальное изотропное подпространство и вложим его в гиперболическое подпространство удвоенной размерности Lh, как в лемме п. 3. В качестве Ld возьмем ортогональное дополнение к Lh в L1. Оно не содержит изотропных векторов, иначе такой вектор можно было бы добавить к исходному изотропному подпространству, которое не было бы максимальным. Это доказывает существование разложения требуемого вида.

Наоборот, в любом таком разложении пространство L0 является ядром. Далее, максимальное изотропное подпространство в Lh одновременно максимально изотропно в , поэтому размерность Lh определена однозначно. Значит, для двух разложений и существует изометрия, переводящая L0 в L0, Lh в . Она дополняется изометрией Ld в по теореме Витта, что завершает доказательство. Назовем Ld анизотропной частью пространства L; она определена с точностью до изометрии.


-1-2-3-4-5-6-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник