[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теорема Витта и группа Витта / 1 2 3 4 5 6


Доказательство. Разберем последовательно несколько случаев.

а) и оба пространства невырождены. Тогда и можно положить .

б) , и оба пространства невырождены. Изометрию можно продолжить до изометрии , положив для для . Если невырождено, то продолжается до f по предыдущему случаю вырождено, то ядро скалярного произведения на одномерно. Пусть e1 порождает это ядро, e2 порождает L'. В ортогональном дополнении к e2 в L найдем такой вектор , что базис порождаемой этими векторами плоскости гиперболичен. Это возможно по лемме п. 3. Покажем, что подпространство L0, натянутое на , невырождено, и изометрия продолжается до изометрии . После этого можно будет применить случай а).

Невырожденность следует из того, что , а матрица Грама векторов имеет вид

Для продолжения f' заметим сначала, что ортогональное дополнение к f'(e2) в L0 двумерно, невырождено и содержит изотропный вектор e1. Поэтому оно является гиперболической плоскостью, так же как и ортогональное дополнение к e2 в L0. По лемме п. 2, существует изометрия второй плоскости с первой. Ее прямая сумма с f' является искомым продолжением.


-1-2-3-4-5-6-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник