Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Теорема Витта и группа Витта / 1 2 3 4 5 6


Доказательство. Пусть . Если не пропорционален l, то , т. к. L невырождена. Можно считать, что (l1, l) = 1. Положим . Тогда (e1, e1) = (e2, e2) = 0, (e1, e2) = 1. Положим . Тогда . Лемма доказана.

Базис {e1, e2} будем называть гиперболическим. Аналогично, в общем гиперболическом пространстве мы будем называть гиперболическим базис с матрицей Грама, состоящей из диагональных блоков .

3. Лемма. Пусть - изотропное подпространство в невырожденном ортогональном пространстве L, {e1, ..., em} - базис в L0. Тогда существуют такие векторы , что образуют гиперболический базис своей линейной оболочки.

Доказательство. Пусть L1 - линейная оболочка {e2, ..., em}. Так как L1 строго меньше L0, то строго больше в силу невырожденности L. Пусть . Тогда при , но . Можно считать, что , так что не пропорционален e1. Как в доказательстве леммы п. 2, положим . Тогда образуют гиперболический базис своей линейной оболочки. Ортогональное дополнение к ней невырождено и содержит изотропное подпространство, натянутое на {e2, ..., em}. К этой паре можно применить аналогичное рассуждение, и индукция по m дает требуемое.

4. Теорема (Витт). Пусть L - невырожденное конечномерное ортогональное пространство, - два его изометричных подпространства. Тогда любая изометрия может быть продолжена до изометрии , совпадающей с f' на L'.


-1-2-3-4-5-6-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник