Теорема Витта и группа Витта

1. Здесь мы изложим результаты Витта, относящиеся к теории конечномерных ортогональных пространств над произвольными полями. Они уточняют теорему классификации из параграфа Теоремы классификации и могут рассматриваться как далеко идущее обобщение теоремы инерции и понятия о сигнатуре. Начнем с некоторых определений. Как обычно, считаем характеристику поля скаляров не равной двум.

Гиперболической плоскостью называется двумерное пространство L с невырожденным симметричным скалярным произведением ( , ), имеющее ненулевой изотропный вектор.

Гиперболическим пространством называется пространство, разлагающееся в прямую сумму попарно ортогональных гиперболических плоскостей.

Анизотропным пространством называется пространство, не имеющее (ненулевых) изотропных векторов.

Над вещественным полем анизотропные пространства L имеют сигнатуру (n, 0) или (0, n), где n = dim L. Покажем, что гиперболические пространства суть обобщения пространств с сигнатурой (m, m).

2. Лемма. У гиперболической плоскости L всегда существуют базисы с матрицей Грама и {e₁, e₂} с матрицей Грама .

-1-2-3-4-5-6-