Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Скалярные произведения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


7. Одномерные ортогональные пространства. Пусть dim L = 1, g - ортогональное скалярное произведение на L. Возьмем любой ненулевой вектор . Если g(l, l) = 0, то , так что g вырожденное и нулевое. Если , то для любого значение g(xl, xl) равно ax2, так что все значения g(l, l) на ненулевых векторах в L составляют в мультипликативной группе поля смежный класс по подгруппе, состоящей из квадратов: . Этот смежный класс полностью характеризует невырожденное симметричное скалярное произведение на одномерном пространстве L: для (L1, g1) и (L2, g2) два таких класса совпадают тогда и только тогда, когда эти пространства изометричны. В самом деле, если g1(l1, l1) = ax2, g2(l2, l2) = ay2, где , то отображение f: l1 - y -1xl2 определяет изометрию L1 с L2, что доказывает достаточность. Необходимость очевидна.

Так как R*/(R*)2 = и C* = (C*)2, получаем следующие важные частные случаи классификации.

Над R любое одномерное ортогональное пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из трех скалярных произведений: xy, - xy, 0.

Над C любое одномерное ортогональное пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из двух скалярных произведений: xy, 0.

8. Одномерные эрмитовы пространства. Здесь рассуждения аналогичны. Основное поле равно C; вырожденность формы равносильна ее обращению в нуль. Если же форма невырождена, то множество значений g(l, l) для ненулевых векторов есть смежный класс подгруппы в группе C*, т. к. , и пробегает все значения в , когда . Но каждое ненулевое комплексное число z однозначно представляется в виде , где , а лежит на единичной комплексной окружности, которую мы обозначим


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник