Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Скалярные произведения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Очевидно, ядро формы g совпадает с ядром линейного отображения

(или )

и потому является линейным подпространством в L. Поэтому задание невырожденной формы g можно заменить заданием изоморфизма (или ). Так как матрицей служит транспонированная матрица Грама Gt базиса L, невырожденность g равносильна невырожденности матрицы Грама (любого базиса). В тензорной алгебре и ее приложениях к дифференциальной геометрии и физике очень широко используется то обстоятельство, что невырожденная ортогональная форма g определяет изоморфизм : оно служит основой техники "поднятия и опускания индексов".

Ранг g определяется как размерность образа , или как ранг матрицы Грама G.

6. Задача классификации. Пусть (L1, g1), (L2, g2) - два линейных пространства со скалярными произведениями над полем . Назовем их изометрией любой линейный изоморфизм , который сохраняет значения всех скалярных произведений, т. е.

g1(l, l') = g2(f(l), f(l')) для всех .

Назовем такие пространства изометричными, если между ними существует изометрия. Очевидно, тождественное отображение является изометрией, композиция изометрий есть изометрия и линейное отображение, обратное к изометрии, есть изометрия. В следующем параграфе мы решим задачу классификации пространств с точностью до изометрии, а затем изучим группы изометрий пространства с самим собой и покажем, что среди них содержатся классические группы, описанные в разделе Матрицы.

Классическое решение задачи классификации состоит в том, что всякое пространство со скалярным произведением разлагается в прямую сумму попарно ортогональных подпространств малой размерности (один в ортогональном и эрмитовом случае, один или два - в симплектическом). Поэтому мы закончим этот параграф непосредственным описанием таких маломерных пространств с метрикой.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник