Геометрия пространств со скалярным произведением / Скалярные произведения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Геометрические свойства скалярных произведений, отличающихся друг от друга лишь множителем, практически одни и те же. Напротив, ортогональная геометрия во многом отличается от симплектической: редукция соотношения gt = g и gt = - g друг к другу таким простым способом невозможна.
4. Ортогональность. Пусть (L, g) - векторное пространство со скалярным произведением. Векторы называются ортогональными (относительно g), если g(l1, l2) = 0. Подпространства называются ортогональными, если g(l1, l2) = 0 для всех . Основная причина, по которой важны лишь скалярные произведения с одним из свойств симметрии предыдущего пункта, состоит в том, что для них свойство ортогональности векторов или подпространств симметрично относительно этих векторов или подпространств. Действительно: если или , то
и аналогично в эрмитовом случае.
Если не оговорено обратное, в дальнейшем будем рассматривать только ортогональные, симплектические или эрмитовы скалярные произведения. Первое применение понятия ортогональности содержится в следующем определении.
5. Определение. а) Ядром скалярного произведения g на пространстве L называется множество всех векторов , ортогональных ко всем векторам L.
б) g называется невырожденным, если ядро формы g тривиально, т. е. состоит только из нуля.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|