Геометрические свойства скалярных произведений, отличающихся друг от друга лишь множителем, практически одни и те же. Напротив, ортогональная геометрия во многом отличается от симплектической: редукция соотношения g^t = g и g^t = - g друг к другу таким простым способом невозможна.

4. Ортогональность. Пусть (L, g) - векторное пространство со скалярным произведением. Векторы называются ортогональными (относительно g), если g(l₁, l₂) = 0. Подпространства называются ортогональными, если g(l₁, l₂) = 0 для всех . Основная причина, по которой важны лишь скалярные произведения с одним из свойств симметрии предыдущего пункта, состоит в том, что для них свойство ортогональности векторов или подпространств симметрично относительно этих векторов или подпространств. Действительно: если или , то

и аналогично в эрмитовом случае.

Если не оговорено обратное, в дальнейшем будем рассматривать только ортогональные, симплектические или эрмитовы скалярные произведения. Первое применение понятия ортогональности содержится в следующем определении.

5. Определение. а) Ядром скалярного произведения g на пространстве L называется множество всех векторов , ортогональных ко всем векторам L.

б) g называется невырожденным, если ядро формы g тривиально, т. е. состоит только из нуля.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-